摘 要：提出了一种常用的可用于无线通信、图像处理、雷达监测等领域的低复杂度高准确度的算法。这种算法采用了直接计算加上部分迭代的方法计算，与其他普通的加密算法不同，这种算法便捷、简单，其以Khatri-Rao积算法为载体，包含了SVD分解等算法，其作用是对数据进行加密处理或者近似估计。计算机仿真和实际采集数据表明该算法结果准确率高，实现简单，具有较强的可行性和实用性。
关键词：Khatri-Rao积分解；SVD算法；左右奇异向量
中图分类号：TN918.6+6 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2018）12-0084-03
A Low Complexity and High Accuracy Algorithm for Khatri-Rao Integral Solution
LV Shitao，SUN Changhao，HAN Xi，ZHAO Hui，CHENG Ye，LI Qingwen
（North China University of Technology，Beijing 100144，China）
Abstract：This paper presents a low complexity and high accuracy algorithm which can be used in wireless communication，image processing，radar monitoring and other fields. This algorithm adopts the method of direct calculation plus partial iteration. Unlike other ordinary encryption algorithms，this algorithm is convenient and simple，and its product is Khatri-Rao. The algorithm is the carrier，including SVD decomposition algorithm，its role is to encrypt data processing or approximate estimation. Computer simulation and actual data acquisition show that the algorithm has high accuracy，simple implementation，strong feasibility and practicability.
Keywords：Khatri-Rao integral solution；SVD algorithm；left and right singular vector
0 引 言
近年来，现代通信技术的飞速发展，对信号进行传输之前的安全性和保密性，以及接受信号的还原度和便利性提出了更严格的要求。这就需要使用一些特殊的算法来达到这些要求。
Khatri-Rao积分解算法较其他算法有着简洁性与准确性的特点，与普通的加密算法如基于信息隐藏的混沌JPEG图像加密[1]算法不同，它参考了信息加密算法研究[2]中的一些新思路，为信息处理提供了一种便捷简单的计算方法。为了验证这种算法的简洁性与准确性，我们将蓝牙身份认证及信息传输加密算法与其进行对比[3]。蓝牙身份认证及信息传输加密算法首先要在通讯双方硬件上申请同样的密码空间并形成相同的初始密码。密码空间的大小由设备的安全要求级别、运行速度以及储存空间决定。在此我们将其定义为（100*100*100）的单元矩阵，每个单元为4位十六进制数。这样密码空间申请后，密码地址就随之产生。接下来单元中的4位密码由随机数算法产生，我们将其产生的比特值分为每16个一组，按照密码地址的储存序列储存在密码空间中。而Khatri-Rao积分解算法仅需在发送信息的一端将输入的信息进行一个矩阵编码，然后进行一个简单的SVD变换，接着重构载有信息的矩阵，再将这个变换后的矩阵传输，就可以在接收端接收到一个含有信息的近似矩阵，然后将之反变换，将得到的信息与原信息比较，发现这种Khatri-Rao积分解算法更加简洁，复杂度更低。而蓝牙身份认证及信息传输加密算法[3]使用日期进行密码空间地址的计算，在凌晨使用系统时，因为双方设备时间可能有偏差，产生密码空间的不一致性，这种算法会导致存在大概万分之三的误差，从实验结果中可以看出Khatri-Rao积分解算法误差范围和概率更小。
Khatri-Rao积分解算法同时可以运用到基于双Khatri -Rao空时编码的MIMO中继系统半盲接收机[4]当中，用该方案来联合估计单向双跳AF中继系统中的信息符号和单个信道。在图1中，提出了三个半盲接收机，在源节点使用简化的Khatri-Rao空时（Krst）编码。然后，在目的节点接收的信号满足PARATUCK2模型。笔者提出了一种类似的传输方案，在中继处采用Krst编码，对提出的系统引入额外的时间分集，从而导致一个嵌套的PARAFAC模型用于目标接收信号的张量。在开发嵌套PARAFAC模型的过程中，导出了一种称为DALS的双两步交替最小二乘接收机。该接收机由两种基于ALS的算法组成，分别表示ALS-X和ALS-Z，分别用于符号估计和信道估计。
Khatri-Rao积分解算法是结合了关于矩阵Khatri-Rao积的一些迹不等式[5]和矩阵Khatri-Rao积的推广[6]的方法，并通过细致的研究，对其加以简化，归纳出的一种低复杂度高准确度的算法。
1 系统参数
1.1 系统描述
假设SCN×MS是一个包含N个数据流的矩阵，其中MS符号被复用到MS源天线上，第一数据流的所有符号都等于一。在源端使用CCp×MS码矩阵引入时p间冗余，其中p是源（扩频）码长度，使得分配给第ms个天线的第n个编码数据的第p个重复数满足以下方程：
1.2 SVD分解
通过计算矩阵的秩一逼近，利用其SVD方法揭示了矩阵的（UV）。将这一结果应用于两个矩阵（UV）的Khatri-Rao乘积，当UCI×R，VCJ×R时，通过每个秩-1矩阵的SVD计算这些矩阵的列，并与矩阵因子U和V的r列的Khatri-Rao乘积相关联，用于求两个矩阵的Kronecker乘积的因子。
1.3 代码设计和可识别性
（1）代码Matri-ces C和G被设计成具有正交列。在标准的Krst编码中，编码矩阵C被设计为一个截断的DFT矩阵，使得在全分集（P≥Ms）和全传输率（P=1）之间进行性能选择。出于同样的目的，这里使用了相同的源代码矩阵。此外，如果希望只估计符号，则KRF-Z成为可选的，而J可以采用小于MR的值来提高传输速率，而不是（中继）发送分集。但是，如果需要估计信道H（RD）和H（SR），则必须验证条件J≥MR。
（2）在可识别性问题上，CT和GT的右可逆性意味着P≥MS和J≥MR，这是使用KRF-X和KRF-Z算法的必要条件和充分条件。此外，C和G的柱正交性使CT和GT的右逆的计算分别简化为C和G。
2 算法
算法流程如图2所示。
3 运行结果分析
使用Matlab进行仿真结果如图3、图4所示。图3为信号矩阵S的误差函数，图4为通道张量Z的误差函数，相比于其他算法，可以明显看出，相比于其他算法本算法在较低信噪比的情况下仍能够具有较低的误码率和较为准确的信道估计，而且本算法原理简单，具有较低的复杂度，同时四个误差函数曲线都比较圆滑而且相似，这表明此系统比较稳定，拥有良好的性能。
4 结 论
通过Matlab仿真，模拟了传输过程中的信号加密过程，用DALS绘制了L1和L2迭代次数的直方图，MS=2和MS=8。另一个系统参数是图中所考虑的，可以注意到，在大多数情况下，收敛所需的迭代次数都在4和10之内，这表明DALS具有先验的良好行为。
总之，在提供相同性能的同时，DKRF比DALS计算效率高得多，值得一提的是，利用噪声的二阶统计量的基于MMSE的estimators也可以用来细化信道和符号估计。这种KR迭代算法不仅可以用于文件的加密传输，同时也可用于其他方面，例如无线领域中的无线传输、雷达探测等，期待此算法会在更广泛的领域中得到应用。
参考文献：
[1] 王唯，刘粉林，赵正.基于信息隐藏的混沌JPEG图像加密算法 [J].信息工程大学学报，2014，15（2）：148-155.
[2] 卓丽，耿夫利，王艳艳.信息加密算法研究 [J].科教导刊：电子版，2015（18）：175.
[3] 戴彬，刘洋.蓝牙身份认证及信息传输加密算法 [J].硅谷，2009（17）：55-56.
[4] LR Ximenes，G Favier，ALFD Almeida.Closed-Form Semi-Blind Receiver For MIMO Relay Systems Using Double Khatri–Rao Space-Time Coding [J].IEEE Signal Processing Letters，2016，23（3）：316-320.
[5] 胥德平，杜鹃，韦维，等.关于矩阵Khatri-Rao积的一些迹不等式 [J].贵州科学，2007（1）：17-20.
[6] 汤凤香，方秀男.矩阵Khatri-Rao积的推广 [J].佳木斯大学学报（自然科学版），2007（4）：528-530.
[7] LR Ximenes，G Favier，ALFD Almeida.Semi-blind receiversfor non-regenerative cooperative MIMO communications based on nested PARAFAC modeling [J].IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63（18）：4985-4998.
作者简介：吕士韬（1997-），男，汉族，辽宁人，本科。研究方向：通信工程。
