摘 要：对于测绘生产实践中经常遇到的拟合参数的估计问题，本文以线性拟合为例，采用常用的间接平差法、附有参数的条件平差法、整体最小二乘平差法进行解算。主要利用最优估计唯一性原则对三者的解算结果进行对比分析。间接平差法仅考虑部分观测值的随机性质，以不同的量作为自变量和因变量，解算结果不一致；附有参数的条件平差法看似考虑了所有观测值的随机性质，但以不同的量作为自变量和因变量，其解算结果也不一致；整体最小二乘平差法顾及了全部观测值的随机性质，以不同的量作为自变量和因变量，解算结果一致，是当前情况下的最佳估值解法。
关键词：参数拟合；间接平差法；附有参数的条件平差法；整体最小二乘平差法
中图分类号：P207 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2018）12-0071-05
Study on the Estimation Method of Parameter Fitting
BAO Xinxue，CHEN Guoneng
（Guizhou Polytechnic of Construction，Guiyang 551400，China）
Abstract：For the estimation of fitting parameters problem often encountered in surveying and mapping production practice，this paper takes linear fitting as an example，and uses indirect adjustment method，conditional adjustment method with parameters and total least square method to solve the problem. This article summaries some usually used solution methods：the indirect adjustment method and the conditional adjustment method with parameters and the total least squares method. Then utilizes some instances accomplished comparison of these algorithms and give the corresponding suggestions. Results show that：considering the stochastic property of some observations，using different quantities as independent variables and dependent variables，the indirect adjustment method leads to inconsistent results，the conditional adjustment method with parameters seems to take into account the random nature of all observations，but it also leads to inconsistent results，but the total least squares method takes into account the random nature of all observations ，it leads to consistent results and it is the best valuation in the current situation.
Keywords：parameter fitting；indirect adjustment method；conditional adjustment method with parameters；total least squares method
0 引 言
研究变量与变量之间的关系是测量数据平差的主要内容[1]。如果变量之间不存在确定的函数关系，但又存在一定的制约关系，根据变量之间的这种与统计相关的关系所建立的函数模型称为拟合。根据所建立的函数模型，拟合模型分为线性拟合与非线性拟合。
线性拟合问题一直都是研究应用领域普遍面临的一个问题，其不仅存在于实验室数据模拟中，也存在于工程实际应用中。对于非线性问题也往往转化为线性问题进行解算。在测绘学领域可把线性拟合简单地描述为：对于获取的n个测量点（xi，yi），其中（i=1，2，…，n），这些数据点分布零散，却又相对地集中在某一直线附近。为了更好地描述这些散点数据，寻找某一条直线使其最大可能地通过或是靠近这些点，形成一条最佳的拟合直线[2]。在本质上线性拟合就是求解一次函数的参数问题，也即为该直线函数的斜率和截距[3]。
假设测量获取一组数据（xi，yi），把它们展绘于图纸上得到相应的散点图，这些散点的轨迹近似于一条直线，设其直线方程为y=ax+b，确定了斜率a和截距b，该直线方程也就能够唯一确定。如何确定a和b并求出这两个参数的最佳估值，就是线性拟合的参数估计问题[4]。例如，观测得一组数据，得其散点图，其轨迹近似于一条直线，如图1所示。
4 分析与结论
本文选取Paul R.Wolf一书中的经典算例，通过三种不同的方法分别对其进行解算并对结果进行对比分析，如表4所示。
（1）经典间接平差法，仅把x或y视为观测值。从表1的计算结果可见，分别以x和y为观测值的参数估计值是不同的，有违最优估计唯一性原则。就是说，两种结果都非当前情况下的最佳估计值。
（2）利用附有参数的条件平差法，把自变量和因变量都视为观测值，看似都顾及了所有观测值，但分别以x和y为观测值的参数估计值是不同的，其并非当前情况下的最佳估计值。
（3）整体最小二乘平差法在进行参数拟合估计时，把自变量和因变量都视为观测值，亦即都顾及了所有观测值，分别以x和y为观测值的参数估计值是相同的，是当前情况下的最佳估计值。
（4）从平差原理看，间接平差法和附有参数的条件平差法的原理、方法步骤都比较简单。整体最小二乘平差法则复杂得多，需要更多数学知识的支撑。但整体最小二乘平差法顾及了所有观测值，是当前情况下的最佳估计值解法。
（5）在实际应用中，若对解算精度无特殊要求，可选用计算简单的间接平差法；若对精度要求较高，则建议选择整体最小二乘平差法。
参考文献：
[1] 邱卫宁，陶本藻，姚宜斌，等.测量数据处理理论与方法 [M].武汉：武汉大学出版社，2008：27-28.
[2] 丁克良，沈云中，欧吉坤.整体最小二乘法直线拟合 [J].辽宁工程技术大学学报（自然科学版），2010，29（1）：44-47.
[3] 王继刚，周立，蒋廷臣，等.一种简单的加权整体最小二乘直线拟合方法 [J].测绘通报，2014（4）：33-35.
[4] 武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础 [M].武汉：武汉大学出版社，2009：44-47.
[5] Paul R.Wolf，CharlesD.Ghilani.AdjustmentComputations：Statistics and Least Squares in Surveying and GIS [M].John：WileySons，Inc 1997：123-125.
[6] 鲁铁定，陶本藻，周世健.基于整体最小二乘法的线性回归建模和解法 [J].武汉大学学报（信息科学版），2008（5）：504-507.
作者简介：鲍新雪（1991.11-），女，汉族，河南驻马店人，硕士研究生，教员。研究方向：数据处理。
