魏 燊，刘雯雯
（郑州大学力学与安全工程学院，河南 郑州 450001）
1 问题描述某生产企业原材料分为A、B、C 三类，该企业每年48 周安排生产，需提前24 周制定原材料订购和转运计划。由于原材料的特殊性，供应商供货量存在不稳定的状况，实际供货量可能多于或少于订货量。对于企业来说，期望在满足正常生产需求条件下，以最经济和最低损耗作为优化目标，得到一个最优的采购优化与运输方案。
现已知企业每周的产能为2.82 万m3，每立方米商品消耗A 类原材料0.6 m3，或B 类0.66 m3，或C 类0.72 m3。且企业需要保持至少两周生产需求的原材料供应量，对供应商的供货也要全部收购。每家转运商运输能力为6 000 m3/周，一家供应商每周供应原材料尽量由一家供应商提供。
需要解决的问题：根据附件，确定能够满足企业正常生产的最少原材料供应商数量。针对选择的最少供应商，制定企业未来24 周最经济的原材料订购方案，并依据此制定损耗最少的转运方案，且对该方案进行评价。
2 问题分析首先，需要以过去5 年的供货量数据作为依据，预测未来24 周的供货量。然后以满足供应商数量最小为需求设计算法求解。我们在已经选择出的供应商中寻找最经济订购方案。考虑到新的订购方案可以满足企业未来24 周全部的生产需求。而参照评价，过去五年的订购方案与供货情况并不能满足正产生产情况，所以先求解出满足生产条件且供货商数量一定的条件下的以订购成本为目标函数的0-1 规划模型，再通过定义的企业经济度，计算出新的订购方案的经济度[1]。转运损耗度最小的优化模型需要以新的订购方案为前提建立0-1 规划模型，考虑到遗传算法的自适应和寻找全局最优解的能力较强，故采用遗传算法求解。
3 模型建立3.1 供货量数据的预测建立概率预测函数。由于题目附件中只给出了近五年的供货量和销售量数据，并不能准确反映未来24 周的变化趋势，所以需要对供应商未来24 周内的供应量进行预测。
建立的概率预测函数分为两个部分，一部分是事件发生的概率，一部分是实际预测的函数，自变量x为24 周中的第x 周：
由供货商过去五年内未供货的概率确定预测函数中的概率部分：
式中：a、b 满足a+b=1；a=五年内出现供货量不为0的周数/五年内总数据的个数；b=五年内出现供货量为0 的周数/五年内总数据的个数。
3.2 最经济订购方案的制定3.2.1 定义生产企业经济度
对于生产型企业来说，其成本的产生不仅仅是在原材料的采购方面，其生产流程的正常进行也是另一个重要的因素。首先我们定义生产稳定性。由题目附件数据预处理的分析我们知道供应商所提供的产量在大部分情况下是不满足企业所下的订单量的，所以可以由供应商对企业的供货稳定性来衡量生产稳定性，如表1 所示。
表1 不同原材料供货完成情况
求均值得到平均供货完成率为φ=0.64，以此作为企业的生产稳定性。我们定义企业的经济度为：
式中：φ 为企业的生产稳定性；Q2为企业的订购成本。
3.2.2 以采购成本最低为目标函数的0-1 规划模型
引入0-1 变量
式中：Aij为第j 周第i 家A 类供应商的供货量；Bij为第j 周第i 家B 类供应商的供货量；Cij为第j 周第i家C 类供应商的供货量。
约束条件有两个，一个是保障该企业保持不少于一周的库存储备量，另一个是在第j 周买到的货品数量不超过本周供应商的最大供货量。因为只考虑了订购策略，所以合理假设转运损耗率为定值0.98。
3.2.3 基于分支定界法0-1 规划模型
分支定界法可用于求解如本文这样的纯整数规划问题[2]，若松弛条件的可行域有界，则相应的整数规划的可行域会是有限个点组成的集合，分支定界法使得每次规划从可行域中去除一部分点集，这样经过有限次的分支，一定会有整数点落在可行域的顶点处。
3.3 最小转运损耗率方案制定以转运损耗率最低为目标函数，每家转运商的运输能力不超过6 000 m3/周为约束条件，是否选择该家转运商为0-1 变量，建立0-1 规划模型：
式中：xit为第t 周第i 个供应商的供货量；yint为第t 周第n 个转运商对供应商i 是否转运，αnt为第t 周第n个转运商的损耗率。
4 模型求解4.1 最小供应商数量的求解以预测数据为基础，设计算法在重要性排名为前五十名的供应商中选择。我们假设在第一周企业已有一周的库存量，要求满足企业每周的库存储备量，然后进入下一周安排订购，原理同第一周。在此基础上设计算法流程图[3]如图1 所示。
通过Excel 求解得到最小供应商数量为38 家，具体结果如图2 所示。
图2 中数字代表供应商在题目所给附录中的序号，深色方格就是得到的满足企业生产的最少供应商。
4.2 0-1 规划模型求解因为本文设计到的0-1 变量个数过多，所以借助MATLAB 中的BranchBound（）函数进行求解。
在新的订购方案下，企业的采购成本（W2）为897 787.96 万元。我们以过去5 年企业的平均采购成本（W1）作为对照，计算得到W1=767 854.3 万元。已知新的订购方案可以完全满足企业未来24 周的生产和库存需求，所以生产保障稳定性φ2=1，由题目所给的附件一的数据计算得到过去五年的生产保障稳定性为φ1=0.64。
4.3 遗传算法求解规划模型遗传算法（GA）是一种具有很强的全局寻优能力，适合求解复杂的多极值优化问题和组合问题的智能算法，本文采用遗传算法进行求解，通过MATLAB进行编码，生成优化方案[4]。
4.3.1 染色体编码
种群大小为20，染色体的个数为402，对应402个供应商，迭代次数为1 000 代。
4.3.2 适应度函数的设计
如果运量不足的话，适应度函数为零如果运量满足的话，将损耗率的预测值升序排列，将每周供货的预测量除以6 000，向下取整，用损耗率的预测值乘以取整值乘以6 000，再加上下一个损耗率的预测值乘以供货的预测值减去6 000 乘以取整值的结果，最后再将这个值取反，作为适应度采用MATLAB 遗传算法工具箱求解，得到最终结果。
5 结语新订购方案在满足了全部24 周的供应需求，其生产稳定性为1，经济度为897 787.96。过去5 年内在企业的订购模式下订购成本为767 854.3 万元，低于新的订购方案，但其生产稳定性仅为0.64，所以计算出过去5 年的经济稳定度为1 199 772.34。可知经济度降低了25.17%，具有较好的优化效果。
